课程主讲：闫令琪 (Lingqi Yan) | UCSB B站课程链接：https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744
1 向量基础
向量的定义
- 向量有方向和长度，没有绝对起始位置
- 通常记为 $\vec{a}$ 或粗体 a
- 用起止点表示：$\overrightarrow{AB} = B - A$
向量归一化 (Normalization)
- 向量的模（长度）：$||\vec{a}||$
- 单位向量：模为 1 的向量，用于表示方向
- 归一化：$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{||\vec{a}||}$
向量加法
- 几何表示：平行四边形法则 & 三角形法则
- 代数计算：对应坐标相加
向量加法的几何图示：
平行四边形法则：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$（交换律） 三角形法则：先 $\vec{a}$ 后 $\vec{b}$，首尾相连
笛卡尔坐标系
2 向量乘法
点积 (Dot Product / Scalar Product)
点积计算，得到的是一个标量，解决这两个向量有多相似（投影、夹角、强度）问题
定义：
$$ \vec{a} \cdot \vec{b} = ||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}|| \cdot \cos\theta $$$$ \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||} $$对于单位向量：$\cos\theta = \hat{a} \cdot \hat{b}$
坐标计算：
- 2D：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b$
- 3D：$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b$
性质：
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 交换律 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ |
| 分配律 | $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ |
| 结合律 | $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$ |
在图形学中的应用：
- 计算两向量夹角（如光线与法线的夹角）
- 向量投影：$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影 $\vec{b}_\perp = (\vec{b} \cdot \hat{a})\hat{a}$
- 判断方向：点积 > 0 同向，< 0 反向，= 0 垂直
点积的几何意义图示：
计算两向量夹角：$\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| \cdot ||\vec{b}||}$ 向量投影：$\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影 $\vec{b}_\perp = (\vec{b} \cdot \hat{a})\hat{a}$
点积判断方向：
- $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$：同向（$\theta < 90°$）
- $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$：垂直（$\theta = 90°$）
- $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$：反向（$\theta > 90°$）
叉积｜叉乘 (Cross Product / Vector Product)
叉积计算，得到的是一个向量，解决垂直于这两个向量的方向是什么（法线、旋转轴、方向）
定义：
- 叉积结果垂直于两个输入向量
- 方向由右手定则确定
- 常用于构建坐标系
性质：
| 性质 | 公式 |
|---|---|
| 反交换律 | $\vec{a} \times \vec{b} = -\vec{b} \times \vec{a}$ |
| 自身叉积 | $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ |
| 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ |
| 数乘结合 | $\vec{a} \times (k\vec{b}) = k(\vec{a} \times \vec{b})$ |
标准正交基关系：
$$ \vec{x} \times \vec{y} = +\vec{z}, \quad \vec{y} \times \vec{z} = +\vec{x}, \quad \vec{z} \times \vec{x} = +\vec{y} $$坐标计算：
$$ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} y_a z_b - y_b z_a \\ z_a x_b - x_a z_b \\ x_a y_b - y_a x_b \end{pmatrix} $$矩阵形式（对偶矩阵）：
$$ \vec{a} \times \vec{b} = A^* \vec{b} = \begin{pmatrix} 0 & -z_a & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_b \\ y_b \\ z_b \end{pmatrix} $$在图形学中的应用：
- 判断左右：叉积方向判断点在向量的左侧还是右侧，如 $\vec{a} \times \vec{b}$，对应坐标系为 z 轴正方向，即 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 的左侧
- 判断内外：用于三角形光栅化中判断点是否在三角形内，如 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AP}$，P 在 $\overrightarrow{AB}$ 的左侧，$\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BP}$，P 在 $\overrightarrow{BC}$ 的左侧，$\overrightarrow{CA} \times \overrightarrow{CP}$，P 在 $\overrightarrow{CA}$ 的左侧
- 计算法线：三角形两边叉积得到法向量
叉积的右手定则图示：
右手螺旋法则：右手点赞状态，$\vec{a} \times \vec{b}$，四个手指从 $\vec{a}$ 卷曲到 $\vec{b}$，z 轴方向为大拇指方向
- $\vec{a} \times \vec{b}$ 垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 所在平面
- 方向由右手定则确定：四指从 $\vec{a}$ 转向 $\vec{b}$，大拇指指向叉积方向
叉积判断左右与内外：
判断左右：$\vec{a} \times \vec{b}$ 结果为正 → $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 左侧
判断内外：若 $P$ 在 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{CA}$ 的同侧（左侧），则 $P$ 在三角形内 用于三角形光栅化判断像素是否在三角形内
正交坐标系的条件：
$$ ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1 \quad \text{(单位向量)} $$$$ \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{u} \cdot \vec{w} = 0 \quad \text{(两两垂直)} $$$$ \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \quad \text{(右手系)} $$三位直角坐标系
任意向量的分解：
$$ \vec{p} = (\vec{p} \cdot \vec{u})\vec{u} + (\vec{p} \cdot \vec{v})\vec{v} + (\vec{p} \cdot \vec{w})\vec{w} $$应用场景：
- 坐标系转换：世界坐标、模型坐标、相机坐标、局部坐标
- 后续课程的 MVP 变换基础
正交坐标系与向量分解图示：
正交坐标系条件：$||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| = ||\vec{w}|| = 1$，且两两垂直，$\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$
向量分解：$\vec{p} = (\vec{p} \cdot \vec{u})\vec{u} + (\vec{p} \cdot \vec{v})\vec{v} + (\vec{p} \cdot \vec{w})\vec{w}$
不同坐标系之间的关系：
坐标系转换：模型坐标 → 世界坐标 → 相机坐标 → 裁剪坐标（后续 MVP 变换）
3 矩阵
矩阵基本概念
- $m \times n$ 矩阵：$m$ 行 $n$ 列的数组
- 加法和标量乘法：逐元素操作
矩阵乘法
维度要求：$(M \times N) \times (N \times P) = (M \times P)$
$$ C_{ij} = \sum_{k=1}^{N} A_{ik} \cdot B_{kj} $$- $c_{ij}$ 表示 C 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素
- $a_{ik}$ 表示 A 的第 $i$ 行第 $k$ 列元素
- $b_{kj}$ 表示 B 的第 $k$ 行第 $j$ 列元素
设：
$$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$$则：
$$\mathbf{AB} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{bmatrix}$$$$ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 27 & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & 12 \end{pmatrix} $$如何得到：以 2 行 4 列 26 举例，获取原来的两个向量数据 2 行对应的为 5 和 2，4 列对应的为 4 和 3，点积计算：$5*4 + 2*3 = 26$
性质：
| 性质 | 说明 |
|---|---|
| 非交换律 | $AB \neq BA$（一般情况） |
| 结合律 | $(AB)C = A(BC)$ |
| 分配律 | $A(B+C) = AB + AC$ |
矩阵-向量乘法
- 向量视为列矩阵（$m \times 1$）
- 是变换的基础（如反射、旋转、缩放）
矩阵变换图示：
关于 y 轴对称（反射、镜像）：$\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}$
矩阵转置
原本的 2 行 3 列矩阵，转置后变为 3 行 2 列矩阵，行列互换
$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$
$$ (A^T)_{ij} = A_{ji}, \quad (AB)^T = B^T A^T $$单位矩阵与逆矩阵
$I_{3 \times 3} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
矩阵的逆：两个矩阵相乘得到为单位矩阵。
- 单位矩阵 $I$：对角线为 1，其余为 0，$AI = IA = A$
- 逆矩阵 $A^{-1}$：$AA^{-1} = A^{-1}A = I$，$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
则 $A^{-1}$ 称为 $A$ 的逆矩阵，其中 $I$ 是单位矩阵。
注意：只有方阵（行数=列数）且行列式不为零（满秩）的矩阵才有逆矩阵。
获取逆矩阵的方法
相机的旋转、平移。
本文是 GAMES101 - 现代计算机图形学学习系列的第 2 篇笔记。