课程主讲：闫令琪 (Lingqi Yan) | UCSB B站课程链接：https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744
1 为什么要学习变换
变换在图形学中有两大核心应用：
| 应用场景 | 说明 | 示例 |
|---|---|---|
| 建模 (Modeling) | 在场景中摆放物体 | 平移、旋转、缩放物体 |
| 观察 (Viewing) | 将 3D 场景投影到 2D 图像 | 相机变换、投影变换 |
2 二维变换
缩放变换 (Scale)
均匀缩放（所有方向等比例）：
$x' = sx \qquad y' = sy$
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$例如：$x = 2, \; y = 2, \; s = 0.5$
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \times 2 + 0 \times 2 \\ 0 \times 2 + 0.5 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$非均匀缩放（各方向独立缩放）：
反射变换 (Reflection)
关于 y 轴的反射：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} $$剪切变换 (Shear)
水平剪切（y=0 处不动，y=1 处水平偏移 a）：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$参数 $a$ 的含义：控制倾斜程度。$a = 0$ 时矩阵退化为单位矩阵（不变换），$a$ 越大倾斜越明显。
旋转变换 (Rotation)
默认旋转的原点为 $(0, 0)$，逆时针为正方向，旋转角度为 $\theta$。
绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$记作 $R_\theta$，特殊地：
- $R_{90°} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
- $R_{-90°} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$
旋转变换推导公式
设旋转矩阵为未知数 $R = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$，已知两个基向量旋转后的结果，代入求解。假设正方形的长宽都为 1，由此可以得出四个点的坐标、边长等信息。
基向量 $e_1 = (1, 0)$ 旋转 $\theta$ 后 → $(\cos\theta, \sin\theta)$：
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \times 1 + B \times 0 \\ C \times 1 + D \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \\ C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta \\ \sin\theta \end{pmatrix} \implies A = \cos\theta, \; C = \sin\theta $$基向量 $e_2 = (0, 1)$ 旋转 $\theta$ 后 → $(-\sin\theta, \cos\theta)$：
$$ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \times 0 + B \times 1 \\ C \times 0 + D \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B \\ D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\sin\theta \\ \cos\theta \end{pmatrix} \implies B = -\sin\theta, \; D = \cos\theta $$得到旋转矩阵：
$$ R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $$对任意点 $(x, y)$ 旋转的展开过程：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\cos\theta - y\sin\theta \\ x\sin\theta + y\cos\theta \end{pmatrix} $$线性变换的统一表示
所有二维线性变换都可以用矩阵乘法表示：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$即 $x' = M x$。
3 齐次坐标 (Homogeneous Coordinates)
为什么需要齐次坐标
问题：平移变换不是线性变换，无法用 2×2 矩阵表示！
$x' = x+t_x \qquad y' = y+t_y$
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix} $$我们希望用统一的矩阵形式表示所有仿射变换（线性变换 + 平移）。
齐次坐标的定义
增加第三个坐标（w 坐标）：
| 类型 | 齐次坐标表示 | 说明 |
|---|---|---|
| 2D 点 | $(x, y, 1)^T$ | 点有位置 → 需要平移 → w = 1 |
| 2D 向量 | $(x, y, 0)^T$ | 向量无位置（只有方向）→ 不需要平移 → w = 0 |
平移的矩阵表示：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times x + 0 \times y + t_x \times 1 \\ 0 \times x + 1 \times y + t_y \times 1 \\ 0 \times x + 0 \times y + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x + t_x \\ y + t_y \\ 1 \end{pmatrix} $$关键性质：$(x, y, w)^T$ 表示的是 2D 点 $(x/w, y/w)^T$（当 $w \neq 0$）。
例如：$(1, 0, 1)$ 和 $(2, 0, 2)$ 都表示同一个点 $(1, 0)$。
齐次坐标下的运算规则
运算合法性判断：结果的 w 坐标为 1 或 0 即为合法运算：
- vector + vector = vector
- point − point = vector
- point + vector = point
- point + point = ?? （w = 2，不合法 → 需要除以 w 归一化）
齐次坐标还原：$\begin{pmatrix} x \\ y \\ w \end{pmatrix}$ 对应 2D 点 $\begin{pmatrix} x/w \\ y/w \\ 1 \end{pmatrix}$，其中 $w \neq 0$。
| w 值 | 含义 | 变换行为 | |
|---|---|---|---|
| 点 | 1 | 有位置 | 接受旋转、缩放、平移 |
| 向量 | 0 | 无位置 | 接受旋转、缩放，忽略平移 |
4 仿射变换 (Affine Transformation)
定义
仿射变换 = 线性变换 + 平移
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t_x \\ t_y \end{pmatrix} $$齐次坐标下的统一表示
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $$二维变换的齐次坐标矩阵汇总
| 变换类型 | 齐次矩阵 |
|---|---|
| 平移 | $T(t_x, t_y) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| 缩放 | $S(s_x, s_y) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
| 旋转 | $R(\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ |
5 逆变换 (Inverse Transform)
逆变换就是"撤销"变换的操作。
变换矩阵 $M$ 的逆矩阵 $M^{-1}$ 表示反向变换：
- 平移 $T^{-1}(t_x, t_y) = T(-t_x, -t_y)$
- 旋转 $R^{-1}(\theta) = R(-\theta) = R^T(\theta)$（正交矩阵的逆等于转置）
- 缩放 $S^{-1}(s_x, s_y) = S(1/s_x, 1/s_y)$
6 复合变换 (Composing Transforms)
变换顺序很重要！
矩阵乘法不满足交换律：
$$ R_{45°} \cdot T_{(1,0)} \neq T_{(1,0)} \cdot R_{45°} $$矩阵从右到左应用（先写先应用）：
$$ T_{(1,0)} \cdot R_{45°} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \cos{45°} & -\sin{45°} & 0 \\ \sin{45°} & \cos{45°} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $$表示：先旋转 45°，再平移 (1,0)。
变换的组合
多个变换可以通过矩阵乘法组合成一个矩阵：
$$ A_n(...A_2(A_1(\vec{x}))) = A_n \cdots A_2 \cdot A_1 \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} $$预乘 n 个矩阵得到一个代表组合变换的单一矩阵，对性能非常重要，可以获取旋转平移矩阵。
绕任意点旋转的分解
如何绕给定点 $c$ 旋转？
- 平移：将旋转中心 $c$ 移到原点 → $T(-c)$
- 旋转：绕原点旋转 → $R(\alpha)$
- 平移：移回原位置 → $T(c)$
7 三维变换 (3D Transformations)
齐次坐标表示
- 3D 点：$(x, y, z, 1)^T$
- 3D 向量：$(x, y, z, 0)^T$
- 一般地，$(x, y, z, w)^T$（$w \neq 0$）表示 3D 点 $(x/w, y/w, z/w)$
使用 4×4 矩阵进行仿射变换：
$$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & t_x \\ d & e & f & t_y \\ g & h & i & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} $$旋转矩阵的性质
$\cos\theta$ 为对称曲线，$\cos\theta$ 与 $\cos(-\theta)$ 值一致；$\sin\theta$ 为反对称曲线，$\sin\theta$ 与 $\sin(-\theta)$ 值是相反数。由此得出：
$$ R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} = R(\theta)^T $$$R(-\theta)$ 矩阵的行等于 $R(\theta)$ 矩阵的列，两者互为逆矩阵，满足：
$$ R(-\theta) = R(\theta)^{-1} \quad \text{(by definition)} $$数学上，一个矩阵的逆等于它的转置的条件是该矩阵是正交矩阵，旋转矩阵就是正交矩阵。
三维变换矩阵
缩放：
$$ S(s_x, s_y, s_z) = \begin{pmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_z & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$平移：
$$ T(t_x, t_y, t_z) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$绕坐标轴旋转：
绕 x 轴旋转：
$$ R_x(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$绕 y 轴旋转（注意方向）：
$$ R_y(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$绕 z 轴旋转：
$$ R_z(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
欧拉角 (Euler Angles)
通过组合绕三个轴的旋转来表示任意 3D 旋转：
$$ R_{xyz}(\alpha, \beta, \gamma) = R_x(\alpha) \cdot R_y(\beta) \cdot R_z(\gamma) $$常用于飞行模拟器：滚转 (Roll)、俯仰 (Pitch)、偏航 (Yaw)。
罗德里格斯旋转公式 (Rodrigues’ Rotation Formula)
绕任意单位轴 $\vec{n}$ 旋转 $\alpha$ 角：
$$ R(\vec{n}, \alpha) = \cos\alpha \cdot I + (1 - \cos\alpha) \vec{n} \vec{n}^T + \sin\alpha \cdot N $$其中 $N$ 是叉积矩阵：
$$ N = \begin{pmatrix} 0 & -n_z & n_y \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y & n_x & 0 \end{pmatrix} $$推导：可参考课程补充材料 补充材料。
8 MVP 变换总览
图形渲染管线中的三大变换：
模型坐标 → [Model 变换] → 世界坐标 → [View 变换] → 相机坐标 → [Projection 变换] → 裁剪坐标
| 变换 | 作用 | 说明 |
|---|---|---|
| Model | 模型坐标 → 世界坐标 | 在场景中摆放物体 |
| View | 世界坐标 → 相机坐标 | 确定观察角度 |
| Projection | 相机坐标 → 裁剪坐标 | 3D → 2D 投影 |
9 视图变换 (View Transformation)
类比拍照过程
- 找好位置、安排人物 → Model 变换
- 找好角度、放置相机 → View 变换
- 按下快门 → Projection 变换
相机的定义
| 参数 | 符号 | 说明 |
|---|---|---|
| 位置 | $\vec{e}$ | 相机在世界坐标系中的位置 |
| 观察方向 | $\hat{g}$ | 相机看向的方向 (gaze direction) |
| 上方向 | $\hat{t}$ | 相机的上方 (up direction)，假设与观察方向垂直 |
视图变换的核心思想
关键观察：如果相机和所有物体一起移动，“照片"效果相同！
目标：将相机变换到：
- 位于原点
- 上方向朝 +Y
- 观察方向朝 -Z
同时将所有物体一起变换。
视图变换矩阵推导
$$ M_{view} = R_{view} \cdot T_{view} $$第一步：平移 $T_{view}$，将相机位置 $\vec{e} = (x_e, y_e, z_e)$ 移到原点：
$$ T_{view} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -x_e \\ 0 & 1 & 0 & -y_e \\ 0 & 0 & 1 & -z_e \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$第二步：旋转 $R_{view}$，将相机坐标系对齐到标准坐标系：
- 观察方向 $\hat{g}$ → 对齐 $-Z$ 轴
- 上方向 $\hat{t}$ → 对齐 $Y$ 轴
- 右方向 $\hat{g} \times \hat{t}$ → 对齐 $X$ 轴
为什么考虑逆旋转更简单？
直接求 $R_{view}$ 的困难：需要解复杂的方程
$$ R_{view} \cdot \hat{g} = -Z, \quad R_{view} \cdot \hat{t} = Y, \quad R_{view} \cdot (\hat{g} \times \hat{t}) = X $$技巧：考虑逆变换 $R_{view}^{-1}$，它做相反的事——将标准基变换到相机坐标系：
$$ R_{view}^{-1} \cdot X = \hat{g} \times \hat{t}, \quad R_{view}^{-1} \cdot Y = \hat{t}, \quad R_{view}^{-1} \cdot Z = -\hat{g} $$逆变换 $R_{view}^{-1}$ 的矩阵
关键观察：矩阵的每一列就是变换后的基向量！
| 标准基 | 变换结果 | 矩阵的列 |
|---|---|---|
| $X = (1,0,0)$ | $\hat{g} \times \hat{t}$（右方向） | 第一列 |
| $Y = (0,1,0)$ | $\hat{t}$（上方向） | 第二列 |
| $Z = (0,0,1)$ | $-\hat{g}$（观察反方向） | 第三列 |
因此：
$$ R_{view}^{-1} = \begin{pmatrix} | & | & | \\ \hat{g} \times \hat{t} & \hat{t} & -\hat{g} \\ | & | & | \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & x_{\hat{t}} & x_{-\hat{g}} & 0 \\ y_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{t}} & y_{-\hat{g}} & 0 \\ z_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{t}} & z_{-\hat{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$求 $R_{view}$
旋转矩阵是正交矩阵，满足 $R^{-1} = R^T$，所以：
$$ R_{view} = (R_{view}^{-1})^T $$转置就是把行变成列：
$$ R_{view} = \begin{pmatrix} x_{\hat{g} \times \hat{t}} & y_{\hat{g} \times \hat{t}} & z_{\hat{g} \times \hat{t}} & 0 \\ x_{\hat{t}} & y_{\hat{t}} & z_{\hat{t}} & 0 \\ x_{-\hat{g}} & y_{-\hat{g}} & z_{-\hat{g}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$验证
用 $R_{view}$ 作用于 $\hat{g}$，检验是否得到 $-Z$：
$$ R_{view} \cdot \hat{g} = \begin{pmatrix} (\hat{g} \times \hat{t}) \cdot \hat{g} \\ \hat{t} \cdot \hat{g} \\ (-\hat{g}) \cdot \hat{g} \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -Z \quad \checkmark $$解释：
- 第一行：$(\hat{g} \times \hat{t}) \cdot \hat{g} = 0$（叉积垂直于原向量）
- 第二行：$\hat{t} \cdot \hat{g} = 0$（上方向垂直于观察方向）
- 第三行：$(-\hat{g}) \cdot \hat{g} = -|\hat{g}|^2 = -1$
10 投影变换 (Projection Transformation)
两种投影方式
| 投影类型 | 特点 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 正交投影 | 平行线保持平行，无近大远小 | 工程制图、CAD |
| 透视投影 | 平行线汇聚于一点，近大远小 | 游戏、电影、真实感渲染 |
正交投影 (Orthographic Projection)
直观理解：
- 相机位于原点，看向 $-Z$，上方向为 $Y$
- 丢弃 Z 坐标
- 将得到的矩形平移、缩放到 $[-1, 1]^2$
一般情况：
将长方体 $[l, r] \times [b, t] \times [f, n]$ 映射到标准立方体 $[-1, 1]^3$。
其中：$l$=左，$r$=右，$b$=下，$t$=上，$n$=近，$f$=远。
推导过程
第一步：平移 $T$，将长方体的中心移到原点。
长方体的中心坐标为 $\left(\frac{l+r}{2}, \frac{b+t}{2}, \frac{n+f}{2}\right)$，因此平移量取负：
$$ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$平移后各方向的范围变为：
| 方向 | 原始范围 | 平移后范围 |
|---|---|---|
| x | $[l, r]$ | $[-\frac{r-l}{2}, \frac{r-l}{2}]$ |
| y | $[b, t]$ | $[-\frac{t-b}{2}, \frac{t-b}{2}]$ |
| z | $[f, n]$ | $[-\frac{n-f}{2}, \frac{n-f}{2}]$ |
第二步：缩放 $S$，将长方体缩放到 $[-1, 1]$。
各方向的缩放因子：
| 方向 | 范围宽度 | 缩放因子 | 目标 |
|---|---|---|---|
| x | $r - l$ | $\frac{2}{r-l}$ | $[-1, 1]$ |
| y | $t - b$ | $\frac{2}{t-b}$ | $[-1, 1]$ |
| z | $n - f$ | $\frac{2}{n-f}$ | $[-1, 1]$ |
例如 x 方向：$\left[-\frac{r-l}{2}\right] \times \frac{2}{r-l} = -1$，$\left[\frac{r-l}{2}\right] \times \frac{2}{r-l} = 1$ ✓
$$ S = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$组合：先平移，再缩放（矩阵从右到左应用）。
$$ M_{ortho} = S \cdot T = \begin{pmatrix} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$验证
| 原始点 | 平移后 | 缩放后 | 结果 |
|---|---|---|---|
| $(r, t, n)$ | $(\frac{r-l}{2}, \frac{t-b}{2}, \frac{n-f}{2})$ | $(1, 1, 1)$ | ✓ |
| $(l, b, f)$ | $(-\frac{r-l}{2}, -\frac{t-b}{2}, -\frac{n-f}{2})$ | $(-1, -1, -1)$ | ✓ |
| 中心 $(\frac{l+r}{2}, \frac{b+t}{2}, \frac{n+f}{2})$ | $(0, 0, 0)$ | $(0, 0, 0)$ | ✓ |
注意：看向 $-Z$ 方向时，近平面 $n > f$（近平面 z 值更大），所以 $n - f > 0$，缩放因子 $\frac{2}{n-f} > 0$。
透视投影 (Perspective Projection)
特点：
- 更远处的物体看起来更小
- 平行线不再平行，汇聚于一点（灭点）
齐次坐标的重要性质：
$(x, y, z, 1)^T$ 和 $(kx, ky, kz, k)^T$（$k \neq 0$）表示同一个点。
例如：$(x, y, z, 1)$ 和 $(xz, yz, z^2, z)$ 都表示 $(x, y, z)$。
透视投影的核心思想：
- 第一步：将视锥体 (frustum) “挤压” 成长方体 (cuboid)
- 近平面不变：$n \to n$
- 远平面不变：$f \to f$
- 记作 $M_{persp \to ortho}$
- 第二步：做正交投影（已经知道怎么做了！）
推导 $M_{persp \to ortho}$：
对于点 $(x, y, z)$，在挤压后：
- $x' = \frac{n}{z} x$
- $y' = \frac{n}{z} y$
利用齐次坐标：
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} nx/z \\ ny/z \\ unknown \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} nx \\ ny \\ unknown \\ z \end{pmatrix} $$因此可以确定矩阵的部分元素：
$$ M_{persp \to ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ ? & ? & ? & ? \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$确定第三行：
利用两个条件：
- 近平面上的点变换后不变（$z = n \to z' = n$），将 z 替换称为 n：
第三行：
$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 & A & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ n \\ 1 \end{pmatrix} = n^2 \quad \Rightarrow \quad A n + B = n^2 $$- 远平面上的点变换后不变（$z = f \to z' = f$）：
解方程组可得 A、B，第三行为 $(0, 0, n+f, -nf)$。
完整的透视投影矩阵：
$$ M_{persp \to ortho} = \begin{pmatrix} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$最终透视投影矩阵：
$$ M_{persp} = M_{ortho} \cdot M_{persp \to ortho} $$11 补充：视场角 (Field of View, FOV)
直观理解
视场角 (Field of View, FOV) 描述了相机能够"看到"的角度范围。
类比人眼：人眼的视野大约是 120°（垂直）× 200°（水平）。FOV 越大，看到的范围越广，但物体看起来越小（类似鱼眼镜头）；FOV 越小，看到的范围越窄，但物体看起来越大（类似望远镜）。
| 类型 | 说明 | 常见值 |
|---|---|---|
| 垂直 FOV (fovY) | 垂直方向的视角范围 | 45° - 90° |
| 水平 FOV (fovX) | 水平方向的视角范围 | 由 fovY 和宽高比决定 |
FOV 的几何含义
想象从相机位置看向近平面：
- fovY：垂直方向上，从相机看向近平面上下边界的夹角
- t：近平面的半高度（从中心到上边界）
- |n|：近平面到相机的距离
公式推导
从相机位置看向近平面，形成一个直角三角形：
$$ \tan\left(\frac{fovY}{2}\right) = \frac{t}{|n|} $$其中：
- $\frac{fovY}{2}$：半角
- $t$：近平面的半高度（上边界到中心的距离）
- $|n|$：近平面距离（相机到近平面的距离，取绝对值）
反之，如果已知 fovY 和近平面距离，可以求出近平面的范围：
$$ t = |n| \cdot \tan\left(\frac{fovY}{2}\right) $$宽高比 (Aspect Ratio)
宽高比定义为：
$$ \text{aspect} = \frac{\text{宽度}}{\text{高度}} = \frac{2r}{2t} = \frac{r}{t} $$其中 $r$ 是近平面的半宽度。
如果已知垂直 FOV 和宽高比，可以求出水平 FOV：
$$ \tan\left(\frac{fovX}{2}\right) = \frac{r}{|n|} = \frac{t \cdot \text{aspect}}{|n|} = \text{aspect} \cdot \tan\left(\frac{fovY}{2}\right) $$实际应用
在游戏和 3D 应用中，FOV 是一个重要的可调参数：
| FOV 范围 | 效果 | 应用场景 |
|---|---|---|
| 小 FOV (30°-45°) | 视野窄，物体大，有"望远镜"效果 | 狙击镜、电影镜头 |
| 中 FOV (60°-90°) | 视野适中，较真实 | 大多数游戏默认值 |
| 大 FOV (90°-120°) | 视野广，物体小，有"鱼眼"效果 | VR、竞速游戏 |
示例：如果 fovY = 60°，近平面距离 |n| = 1，则：
$$ t = 1 \cdot \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 $$若 aspect = 16:9，则：
$$ r = t \cdot \text{aspect} = 0.577 \times \frac{16}{9} \approx 1.026 $$这样就确定了近平面的范围 $[-r, r] \times [-t, t] = [-1.026, 1.026] \times [-0.577, 0.577]$。
12 复盘自测
为什么平移不是线性变换？齐次坐标是如何解决这个问题的？
为什么矩阵乘法中点的 w 坐标是 1，而向量的 w 坐标是 0？
绕任意点旋转为什么要分解为「平移 → 旋转 → 平移」三步？
视图变换为什么要先求逆旋转 $R_{view}^{-1}$，再转置得到 $R_{view}$？
透视投影矩阵 $M_{persp \to ortho}$ 的第三行是如何通过近、远平面条件求解的？
FOV 与近平面范围、宽高比之间的关系是什么？
本文是 GAMES101 - 现代计算机图形学学习系列的第 3 篇笔记。