08｜材质与外观

• 课程主讲：闫令琪 (Lingqi Yan) | UCSB
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• 本章对应课件：第 17 讲（Materials and Appearances）

说明：上一篇（第 07 篇）一路推导到路径追踪，把渲染方程解出来了；这一篇反过来盯住方程里那个"已知但最复杂"的量 —— $f_r$，也就是 BRDF。材质、外观、光泽、菲涅尔、微表面，归根到底都是在回答同一个问题：光打到这个表面上，会往哪些方向反射多少能量？第 18 讲的高级渲染主题（BDPT、MLT、光子映射、VCM，以及参与介质、毛发等非表面模型）另开一篇。

1 材质与外观 (Materials and Appearances)

同一个网格，给不同部件指定不同材质，渲染结果就完全不同：陶瓷釉面带一部分高光镜面反射，陶土是漫反射，顶部的咖啡做贴图处理。

在图形学中，材质 = BRDF。不同的 BRDF 定义了不同的材质外观 —— BRDF 决定了光被反射的方式。

这一篇要梳理的材质谱系大致如下：

2 漫反射材质 (Diffuse / Lambertian Material)

光线被均匀地反射到所有方向。

BRDF：

其中 $\rho$ 是反照率 (albedo)，也就是这个表面的颜色。

推导：假设入射光照均匀（$L_i$ 为常数），由能量守恒（这个点不发光，也不吸收光；那么它接收多少就会反射多少）：

由于半球面上 $\int_{H^2} \cos\theta_i \, d\omega_i = \pi$，若 $L_o = L_i$（完全反射，一点都不吸收），则 $f_r = \frac{1}{\pi}$。乘上反照率 $\rho$ 就得到了漫反射的 BRDF。

3 光泽材质 (Glossy Material)

介于漫反射和完美镜面之间：反射光集中在镜面方向附近的一个小范围内，而不是均匀散开、也不是只有一根反射线。铜、铝等金属表面就是这种表现。

4 理想反射与折射材质 (Ideal Reflective / Refractive Material)

光线从一种介质（如空气）射向另一种介质（如玻璃）时，由于传播速度改变，一部分镜面反射出去、一部分进入新介质并发生方向偏折。

这类材质同时涉及反射和折射，因此也用 BSDF（Bidirectional Scattering Distribution Function，双向散射分布函数）来统称。

完美镜面反射 (Perfect Specular Reflection)

方位角 (Azimuth) 是指：从某个基准方向（通常是正北）开始，沿顺时针方向旋转到目标方向所经过的水平角度。

入射角 = 反射角：$\theta_i = \theta_o = \theta$

方位角关系：$\phi_o = (\phi_i + \pi) \mod 2\pi$

反射方向计算：

完美镜面反射的 BRDF 可以用 Dirac $\delta$ 函数形式表示 —— 它只在镜面反射方向上有值，其余方向全是 0。

镜面折射 (Specular Refraction)

除了在表面发生反射外，光还可以透过表面。当光进入新介质时会发生折射。

斯涅尔定律 (Snell’s Law)：折射角由两侧介质的折射率 (IOR, Index of Refraction) 决定。不同材质的折射率不同。

其中 $\eta_i$ 和 $\eta_t$ 分别是入射介质和折射介质的折射率。

常见折射率：

折射角计算：

全内反射 (Total Internal Reflection)：当光从光密介质射向光疏介质（$\eta_i / \eta_t > 1$）且入射角足够大时：

此时根号下的值小于 0，$\cos\theta_t$ 无实数解，说明折射不存在。仔细看这个条件：$1 - \cos^2\theta_i$ 的取值范围是 $[0, 1]$，所以只有在 $\frac{\eta_i}{\eta_t} > 1$（即从光密射向光疏）时才可能让根号内变负。此时光无法折射出去，全部被反射回原介质内。

斯涅尔窗 (Snell’s Window / Circle)：全内反射的直观现象 —— 在水下仰望水面时，只能透过头顶一个圆形区域看到水面外的世界；圆形边界之外因全内反射呈现水底的镜像。

5 菲涅尔项 (Fresnel Term)

现象：反射率取决于入射角 —— 视角越斜（越接近掠射），反射越强。这就是为什么远处的水面、桌面总是显得"反光"。

精确公式（考虑光的偏振，了解即可）：

Schlick 近似（更高效的近似，渲染里更常用）：

• $R(\theta)$：入射角为 $\theta$ 时的反射率
• $R_0$：垂直入射（$\theta = 0$）时的基础反射率
• $\theta$：入射角（光线与法线的夹角）
• $\cos\theta$：入射方向与法线的点积（单位向量时）

其中 $R_0$ 由两种介质的折射率决定：

// cosTheta = dot(normal, viewDir)，都是单位向量
float R0 = pow((n1 - n2) / (n1 + n2), 2.0);
float fresnel = R0 + (1.0 - R0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);

Schlick 近似用 $R_0$ 和 $(1 - \cos\theta)^5$ 两项，把复杂的菲涅尔方程简化为一个快速插值公式：垂直入射时返回 $R_0$，掠射时趋近 1，中间平滑过渡。

6 微表面材质 (Microfacet Material)

地球并不是光滑的球体，表面有高低不同的山峰，还有一些盆地；但在太空拍摄时，依旧能看到高光反射。

微表面理论

• 宏观尺度：表面平坦且粗糙
• 微观尺度：表面凹凸不平，每个微表面像一面小镜子（微面元，microfacet）

微表面 BRDF

关键：微面元法线的分布。

• 法线集中 $\Rightarrow$ 光泽 (glossy)
• 法线分散 $\Rightarrow$ 漫反射 (diffuse)

微表面材质可以用于很多渲染场景：摩托车仪表盘、粗糙的坐垫、光滑的皮革、近似镜面的金属、木质家具等。

7 各向同性与各向异性材质

在材质和渲染领域，各向同性和各向异性描述的是：材质的表面属性是否跟方向有关。

核心区别一句话：各向同性材质的反射，转动物体时看起来一样；各向异性材质的反射，会随着方向变化而拉长、变形。

各向异性材质的反射特性随方位角变化，来源于表面的方向性微结构（如拉丝金属的纹路方向）。

8 BRDF 的性质

BRDF 必须满足非负、互易、能量守恒三条基本物理约束；在此之上还可按各向同性/各向异性分类，并具有线性叠加性。

9 BRDF 测量

BRDF 是一个理论模型，但真实材质的反射行为非常复杂：

• 不同材质的微观结构千差万别
• 同一个材质在不同角度下表现完全不同
• 理论模型（如 Cook-Torrance）只是近似，参数需要真实数据来标定

所以必须通过实际测量，才能得到可信的 BRDF 数据。

动机：避免开发和推导模型，直接用真实材质数据渲染。

方法（使用测角反射计 gonioreflectometer）：

for each 出射方向 wo:
    将光源移动到 wo 方向照射表面
    for each 入射方向 wi:
        将传感器移动到 wi 方向
        测量入射辐射率

效率优化：

• 各向同性表面将维度从 4D 降到 3D
• 可逆性将测量数减半
• 更巧妙的光学系统设计

基于图像的测量：Marschner et al. 1999 提出用相机拍摄的方式代替逐点机械测量。

测量的挑战：

• 掠射角处的精确测量（因菲涅尔效应而重要）
• 高频镜面需要足够密集的采样才能捕捉
• 后向反射 (retro-reflection)
• 空间变化的反射率

测量数据的表示：期望性质 —— 紧凑、准确还原测量数据、任意方向对可高效求值、利于重要性采样。常用表格表示：在 $(\theta_i, \theta_o, |\phi_i - \phi_o|)$ 上存储规则采样的值（必要时重参数化以更好地匹配镜面峰）。存储需求很高，例如 MERL BRDF 数据库 [Matusik et al. 2004] 就包含 90 × 90 × 180 组测量。

总结

本章是"材质"这一侧的入口，把渲染方程里那个已知量 $f_r$ 拆开看了一遍：

本文是 GAMES101 - 现代计算机图形学学习系列的第 8 篇笔记。