10｜相机与透镜

• 课程主讲：闫令琪 (Lingqi Yan) | UCSB
• B站课程链接：https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744
• 本章对应课件：第 19 讲（Cameras, Lenses and Light Fields）

说明：前九篇一直在回答"怎么把模型画成图"，那是合成 (Synthesis)；这一篇换个方向，讲图像是怎么被**捕获 (Capture)**下来的。相机的每个部件——镜头、光圈、快门、传感器——几乎都能在渲染器里找到一个对应参数，而景深、散焦模糊、曝光这些效果，也由此第一次有了物理模型。

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1 成像：合成与捕获 (Imaging = Synthesis + Capture)

相机与透镜是图形学中"成像"的另一半：光栅化与光线追踪解决的是合成 (Synthesis)——从模型生成图像；而相机解决的是捕获 (Capture)——从真实世界采集图像。两者最终都落在同一件事上：传感器平面上记录到的辐照度 (irradiance)。

理解相机的意义在于：它不仅解释了我们日常拍出的照片为什么会虚、会糊、会过曝，也直接给出了渲染器里景深、散焦模糊、曝光这些效果的物理模型。

相机里面有什么

一台相机可以拆成几个职责清晰的部分：

部件	作用
镜头组 (Lens)	把来自场景不同方向的光重新汇聚，在传感器上成像
光圈 (Aperture)	控制进光量的多少（同时决定景深）
快门 (Shutter)	控制传感器暴露在光下的时间长短
传感器 (Sensor)	在曝光期间累积辐照度，最终转成像素值

小孔与透镜在传感器上成像

无论是小孔还是透镜，目的都是限制每个传感器点能接收到的光线方向：只让来自场景中某一小片区域的光落在一个点上，从而在传感器上形成与场景对应的像。

快门与传感器的累积

快门在精确的时间内打开，暴露传感器。

传感器在曝光期间累积辐照度 (irradiance)——它记录的是"这段时间内总共落下来的光"，而不是某一瞬间的光。

为什么不能没有透镜

如果去掉透镜，只留一个传感器：每个传感器点都会把物体上所有点发出的光积分到一起，于是所有像素值都差不多——你得到的是一片均匀的灰，而不是图像。

原因在于传感器记录的是辐照度：辐照度是"来自所有方向的光在单位面积上的总功率"，它天然丢掉了方向信息。要成像，就必须先把方向信息筛出来——这正是小孔和透镜做的事。

补充：计算成像 (computational imaging) 领域确实在研究无透镜相机 (lensless camera)，靠计算而非光学来恢复图像，但这属于另一条技术路线。

小孔成像的历史

小孔成像 (pinhole image formation) 是人类最早理解的成像模型，被多个文明独立发现：

人物	年代
墨子 (Mo Tzu)	约公元前 470–390
亚里士多德 (Aristotle)	公元前 384–322
Ibn al-Haytham	965–1040
沈括	1031–1095
Roger Bacon	约 1214–1294
开普勒 (Johannes Kepler)	1571–1630

世界上最大的小孔摄影作品（legacyphotoproject.com）：把一个房间甚至一栋建筑做成暗箱。

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2 视场 (Field of View)

焦距对视场的影响

视场 (FOV, Field of View) 描述相机能"看到"多宽的角度范围。它由传感器尺寸 $h$ 和焦距 $f$ 共同决定：

$$ \text{FOV} = 2 \arctan\left(\frac{h}{2f}\right) $$

符号	含义
$h$	传感器的高度（或宽度，取决于要算垂直还是水平视场）
$f$	透镜焦距 (focal length)

结论：传感器尺寸固定时，焦距越小，视场越大。

焦距与视场的换算惯例

出于历史原因，人们习惯用"在 35mm 胶片格式（36 × 24mm）上使用的透镜焦距"来指代视场角：

焦距（35mm 格式）	类型	视场角
17mm	广角 (wide angle)	104°
50mm	标准 (normal)	47°
200mm	长焦 (telephoto)	12°

注意：当我们说现在的手机大约是 28mm “等效"焦距时，用的就是这个惯例——手机传感器远小于 35mm，实际焦距只有几毫米，只是视场角与之相当。

传感器尺寸对视场的影响

传感器越小，视场越小（在焦距不变的前提下）。

在更小的传感器上保持视场

要保持视场不变，就按传感器宽/高的比例等比例减小焦距。

这也是为什么同一个镜头装在 APS-C 机身上时视场会变窄（等效焦距要乘以约 1.5 的裁切系数）。

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3 曝光 (Exposure)

曝光的定义

$$ H = T \times E $$

曝光量 = 曝光时间 × 辐照度。

量	含义	由什么控制
曝光时间 $T$	传感器暴露在光下的时长	快门 (shutter)
辐照度 $E$	单位面积传感器上落到的光功率	光圈 (aperture) 与焦距

曝光的三个控制量

控制量	手段
光圈大小 (Aperture size)	通过开合光圈改变 f-stop（若相机有光圈环控制）
快门速度 (Shutter speed)	改变传感器像素累积光的时长
ISO 增益 (ISO gain)	改变传感器值与数字图像值之间的放大倍数（模拟和/或数字）

ISO（增益）

ISO 的核心作用是控制相机对光信号的放大倍数，从而在光圈和快门已定的情况下，把照片亮度调整到合适水平。

1. 调节画面亮度。
   • ISO 越低，放大倍数越小，画面越暗，但通常噪点更少、动态范围更宽。
   • ISO 越高，放大倍数越大，画面越亮，但噪声和画质损失通常更明显。
2. 配合光圈和快门实现曝光自由。当光圈和快门无法再调整时，它提供额外的曝光余地。
3. 影响画质：噪声、动态范围、色彩。

影响项	低 ISO	高 ISO
噪声	少	多
动态范围	宽	窄
高光宽容度	好	容易溢出
色彩深度	好	可能下降
细节保留	好	可能被降噪抹掉

ISO 是曝光的第三个变量：

• 胶片时代：用灵敏度换颗粒度 (grain)
• 数码时代：用灵敏度换噪声 (noise)
• 在模数转换 (analog-to-digital conversion) 之前把信号放大
• 效果是线性的：ISO 200 只需要 ISO 100 一半的光

ISO 放大之所以会引入噪声，核心原因在于：放大信号的同时，也放大了传感器本身的固有噪声，而且后期数字放大还会额外引入量化噪声。

F 数 (F-Number / F-Stop)

写作 $F_N$ 或 $F/N$，其中 $N$ 就是 f-number。

• 非正式理解：圆形光圈直径的倒数（光圈直径越大，进入光的能量越多）
• 正式定义：透镜的 f-number 定义为焦距除以光圈直径

$$ N = \frac{f}{D} $$

符号	含义
$f$	焦距
$D$	光圈的绝对直径
$N$	f-number

快门速度的副作用：运动模糊

运动模糊 (motion blur) 来自手抖 (handshake) 和主体运动 (subject movement)。

快门时间翻倍，运动模糊也翻倍。

注意：运动模糊并不总是坏事。 提示：想想抗锯齿 (anti-aliasing)——运动模糊本质上是在时间维度上做平均，与像素内采样平均是同一类操作。

卷帘快门 (Rolling Shutter)

照片的不同部分是在不同时间拍摄的——因为传感器逐行读出，而不是一次性曝光。

恒定曝光：光圈与快门速度的权衡

下面这些光圈 / 快门组合给出等价的曝光量：

F-Stop	1.4	2.0	2.8	4.0	5.6	8.0	11.0	16.0	22.0	32.0
快门	1/500	1/250	1/125	1/60	1/30	1/15	1/8	1/4	1/2	1

如果曝光过亮或过暗，就需要往上或往下调整 f-stop 和/或快门。

摄影师必须在景深 (depth of field) 与运动模糊之间做权衡——这是摄影里最核心的一组取舍。

高速摄影与长曝光摄影

类型	做法
高速摄影 (High-Speed Photography)	正常曝光 = 极快的快门速度 ×（大光圈和/或高 ISO）。经典作品来自 Harold Edgerton
长曝光摄影 (Long-Exposure Photography)	用很长的曝光时间，把运动累积成光轨、丝滑的水面等

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4 薄透镜近似 (Thin Lens Approximation)

真实透镜并不理想：像差

真实镜头设计极其复杂，高端镜头内部由十几片镜片组成。

真实透镜元件并不理想——存在像差 (aberration)。 最典型的是球差 (spherical aberration)：

真实的平凸透镜（表面是球面形状），无法把光线汇聚到任何一个点上。

理想薄透镜

为了能做数学分析，我们假设一个理想化的薄透镜：

理想薄透镜的三条性质：

1. 所有平行进入透镜的光线都穿过它的焦点 (focal point)
2. 所有穿过焦点的光线在通过透镜后都变得平行
3. 焦距可以任意改变（现实中确实可以——变焦镜头）

薄透镜方程

对物距 $z_o$（object 到透镜的距离）和像距 $z_i$（透镜到成像平面的距离）：

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{z_i} + \frac{1}{z_o} $$

这就是高斯薄透镜方程 (Gaussian Thin Lens Equation)。

高斯光线图 (Gauss’ Ray Diagrams)

用三条特殊光线就能画出成像：

光线	走法
平行光线 (Parallel Ray)	平行于光轴入射 → 出射后穿过像方焦点
主光线 (Chief Ray)	穿过透镜中心 → 方向不变
焦光线 (Focal Ray)	穿过物方焦点入射 → 出射后平行于光轴

从相似三角形推导薄透镜方程

设物高 $h_o$、像高 $h_i$，物距 $z_o$、像距 $z_i$、焦距 $f$。

从平行光线看（物方焦点到物顶点的三角形，与像方焦点到像顶点的三角形相似）：

$$ \frac{h_o}{z_o - f} = \frac{h_i}{f} $$

从焦光线看（物顶点到透镜的三角形，与像顶点到像方焦点的三角形相似）：

$$ \frac{h_o}{f} = \frac{h_i}{z_i - f} $$

两式都给出物像高之比 $h_o / h_i$，令其相等：

$$ \frac{z_o - f}{f} = \frac{f}{z_i - f} $$$$ (z_o - f)(z_i - f) = f^2 $$

这就是牛顿薄透镜方程 (Newtonian Thin Lens Equation)。展开左边：

$$ z_o z_i - z_o f - z_i f + f^2 = f^2 $$$$ z_o z_i = (z_o + z_i) f $$

两边同除以 $z_o z_i f$，即得高斯形式：

$$ \frac{1}{f} = \frac{1}{z_i} + \frac{1}{z_o} $$

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5 散焦模糊与景深 (Defocus Blur & Depth of Field)

弥散圆 (Circle of Confusion) 的大小

当镜头对焦在某个平面时，只有这个平面上的点能在传感器上完美汇聚成一个点。偏离这个平面的景物，其光线会在传感器上汇聚成一个模糊的圆斑，这个圆斑就是弥散圆 (Circle of Confusion, CoC)。

• 弥散圆越小，看起来越清晰；
• 弥散圆越大，看起来越模糊；
• 当弥散圆大到人眼能察觉时，就认为"不清晰"了。

景深的计算逻辑是：

1. 先规定一个可接受的弥散圆直径（通常记为 $C$）；
2. 找出所有在传感器上形成的弥散圆不超过 $C$ 的物距范围；
3. 这个范围就是景深。

所以：$C$ 定得越小（要求越严格），景深越浅；$C$ 定得越大（允许更模糊），景深越深。

由相似三角形可得：

$$ \frac{C}{A} = \frac{|z_s - z_i|}{z_i} $$

即：

$$ C = A \frac{|z_s - z_i|}{z_i} $$

符号	含义
$C$	弥散圆直径
$A$	光圈直径
$z_s$	被观察物体到透镜的距离
$z_i$	传感器到透镜的距离（像距）

关键结论：弥散圆的大小与光圈的大小成正比。

说明：这里的光圈直径记作 $A$，与上一节 F 数公式里的 $D$ 是同一个量（光圈直径），只是不同教材的记号习惯不同。

CoC 与光圈大小的关系

重新审视 F 数

• 正式定义：透镜的 f-number 定义为焦距除以光圈直径
• 真实镜头上常见的 f-stop：1.4, 2, 2.8, 4.0, 5.6, 8, 11, 16, 22, 32
• f-stop 为 2 有时写作 $f/2$，反映了一个事实：绝对光圈直径 $A$ 可以用焦距 $f$ 除以相对孔径 $N$ 算出

示例计算：

光圈直径 $D$	焦距 $f$	f-number $N = f/D$
50 mm	100 mm	2
100 mm	200 mm	2
100 mm	400 mm	4

弥散圆大小与 F 数成反比

把 $A = f / N$ 代入弥散圆公式：

$$ C = A \frac{|z_s - z_i|}{z_i} = \frac{f}{N} \cdot \frac{|z_s - z_i|}{z_i} $$

所以 F 数越大（光圈越小），弥散圆越小，画面越清晰。 这就是"光圈开到 f/16 会更锐"的原因。

用光线追踪渲染散焦模糊

在渲染器里模拟真实相机的效果：

设置 (Setup)：

1. 选择传感器尺寸、透镜焦距和光圈大小
2. 选择感兴趣的主体深度 $z_o$
3. 由薄透镜方程算出对应的传感器深度 $z_i$

渲染 (Rendering)：

• 对传感器上的每个像素 $x'$（实际上是胶片 film）
• 在透镜平面上随机采样点 $x''$
• 光线穿过透镜后必定打到 $x'''$（因为 $x'''$ 在焦平面上——考虑虚拟光线 $(x', \text{透镜中心})$）
• 估计光线 $x'' \to x'''$ 上的辐射率 (radiance)

注意：这正是路径追踪 + 镜头采样。把"从相机出发的主光线"换成"从透镜上随机一点出发的光线”，就自然得到了散焦模糊——不需要任何特殊的模糊后处理。

景深 (Depth of Field)

景深是指图像中被渲染得具有可接受清晰度的物体深度范围。

做法是：把弥散圆设为一个"在最终观看条件下看起来仍然清晰"的最大允许模糊斑。凡是 CoC 不超过这个阈值的深度范围，都算作"清晰"，这个范围就是景深。

景深的定量公式（FYI）

量	含义
$D_S$	对焦距离 (subject distance)
$D_F$	远景界限 (far limit)
$D_N$	近景界限 (near limit)
$C$	允许的弥散圆直径
$N$	f-number
$f$	焦距

$$ D_F = \frac{D_S f^2}{f^2 - N C (D_S - f)} $$$$ D_N = \frac{D_S f^2}{f^2 + N C (D_S - f)} $$$$ \text{DOF} = D_F - D_N $$

注意区分两个概念：

概念	所在空间	含义
景深 (Depth of Field)	物方	场景中看起来清晰的深度范围
焦深 (Depth of Focus)	像方	成像平面上可接受的清晰范围

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总结

第 19 讲把视角从"生成图像"转到了"捕获图像"，相机由此成为渲染器里一个可参数化的模型：

主题	核心内容
成像 = 合成 + 捕获	光栅化 / 光线追踪是合成，相机是捕获，两者最终都落在传感器上的辐照度
为什么需要透镜	传感器记录的是辐照度、天然丢失方向信息；必须靠小孔或透镜筛选方向才能成像
视场 FOV	$\text{FOV} = 2\arctan(h / 2f)$；焦距越小视场越大，传感器越小视场越小
曝光	$H = T \times E$，由光圈、快门、ISO 三者共同控制
ISO	模数转换前放大信号，线性增益；代价是同时放大噪声、压缩动态范围
F 数	$N = f / D$；相邻 f-stop 相差 $\sqrt{2}$ 倍，与快门组合可给出等价曝光
薄透镜	三条性质 + 高斯方程 $1/f = 1/z_i + 1/z_o$（牛顿形式 $(z_o - f)(z_i - f) = f^2$）
弥散圆	$C = A,
散焦模糊渲染	路径追踪 + 透镜平面随机采样，无需任何特殊模糊后处理
景深 / 焦深	景深在物方（场景中看起来清晰的深度范围），焦深在像方（成像平面上的清晰范围）

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本文是 GAMES101 - 现代计算机图形学学习系列的第 10 篇笔记。